【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若对,
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先求得函数的定义域,然后对函数求导,对分成
四种情况,讨论函数的单调性.(2)根据(1)中所求函数的单调区间,对
四种情况分别研究函数的函数值,结合
来求得
的取值范围.
解:(1)由题意知,的定义域为
,
由,
得.
①当时,令
,可得
,
,得
,故函数
的增区间为
,减区间为
;
②当时,
,令
,可得
,
,得
或
,故
的增区间为
,减区间为
、
;
③当时,
,故函数
的减区间为
;
④当时,
,令
,可得
,
,得
,或
,故
的增区间为
,减区间为
,
.
综上所述:当时,
在
上为减函数,在
上为增函数;当
时,
在
,
上为减函数,在
上为增函数;当
时,
在
为减函数;当
时,
在
,
上为减函数,在
上为增函数.
(2)由(1)可知:
①当时,
,此时
;
②当时,
,当
时,有
,
,可得
,不符合题意;
③当时,
,由函数
的单调性可知,当
时
,不符合题意;
④当时,
,由函数
的单调性可知,当
时
,不符合题意.
综上可知,所求实数的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某工厂预购软件服务,有如下两种方案:
方案一:软件服务公司每日收取工厂60元,对于提供的软件服务每次10元;
方案二:软件服务公司每日收取工厂200元,若每日软件服务不超过15次,不另外收费,若超过15次,超过部分的软件服务每次收费标准为20元.
(1)设日收费为元,每天软件服务的次数为
,试写出两种方案中
与
的函数关系式;
(2)该工厂对过去100天的软件服务的次数进行了统计,得到如图所示的条形图,依据该统计数据,把频率视为概率,从节约成本的角度考虑,从两个方案中选择一个,哪个方案更合适?请说明理由.
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【题目】如图,正方形ABCD的中心为O,四边形OBEF为矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,点G为AB的中点,AB=BE=2.
(Ⅰ)求证:EG∥平面ADF;
(Ⅱ)求二面角OEFC的正弦值;
(Ⅲ)设H为线段AF上的点,且AH=HF,求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务,要求是:任务必须排在前三项执行,且执行任务
之后需立即执行任务
,任务
、
相邻,则不同的执行方案共有______种.
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【题目】某企业购买某种仪器,在仪器使用期间可能出现故障,需要请销售仪器的企业派工程师进行维修,因为考虑到人力、成本等多方面的原因,销售仪器的企业提供以下购买仪器维修服务的条件:在购买仪器时,可以直接购买仪器维修服务,维修一次1000元;在仪器使用期间,如果维修服务次数不够再次购买,则需要每次1500元..现需决策在购买仪器的同时购买几次仪器维修服务,为此搜集并整理了500台这种机器在使用期内需要维修的次数,得到如下表格:
维修次数 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
频数(台) | 50 | 100 | 150 | 100 | 100 |
记表示一台仪器使用期内维修的次数,
表示一台仪器使用期内维修所需要的费用,
表示购买仪器的同时购买的维修服务的次数.
(1)若,求
与
的函数关系式;
(2)以这500台仪器使用期内维修次数的频率代替一台仪器维修次数发生的概率,求的概率.
(3)假设购买这500台仪器的同时每台都购买7次维修服务,或每台都购买8次维修服务,请分别计算这500台仪器在购买维修服务所需要费用的平均数,以此为决策依据,判断购买7次还是8次维修服务?
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【题目】已知椭圆,点F为抛物线的焦点,焦点F到直线3x-4y+3=0的距离为d1,焦点F到抛物线C的准线的距离为d2,且
。
(1)抛物线C的标准方程;
(2)若在x轴上存在点M,过点M的直线l分别与抛物线C相交于P、Q两点,且为定值,求点M的坐标.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的上顶点为A,左、右焦点分别为
,
,直线
的斜率为
,点
在椭圆E上,其中P是椭圆上一动点,Q点坐标为
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)作直线l与x轴垂直,交椭圆于两点(
两点均不与P点重合),直线
,
与x轴分别交于点
.求
的最小值及取得最小值时点P的坐标.
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