Question

8．已知f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，即f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），…，f_n+1（x）=f${\;}_{n}^{′}$（x），n∈N^*，则f₁（x）+f₂（x）+…+f₂₀₁₅（x）=（　　）

• A． -sinx+cosx
• B． sinx-cosx
• C． -sinx-cosx
• D． sinx+cosx

Answer 1

分析 由已知分别求出f（x）的前几个导数，发现规律，得到所求．

解答 解：因为f₁（x）=sinx+cosx，f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，
所以f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=f₂′（x）=-sinx-cosx，
f₄（x）=f₃′（x）=-cosx+sinx，
f₅（x）=f₄′（x）=sinx+cosx，…，
由此发现f_n+1（x）是f_n（x）的导函数，并且周期为4，每个周期的和为0，
所以f₁（x）+f₂（x）+…+f₂₀₁₅（x）=f₁（x）+f₂（x）+f_，3（x）=cosx-sinx；
故选A．

点评 本题考查了三角函数的求导，考查学生的发现问题、发现问题、归纳总结的能力．