【题目】已知函数,
.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(3)判断函数在区间
上的单调性,并加以证明.
【答案】(1)(2)函数F (x)是偶函数(3)
在区间(0,1)上是减函数
【解析】试题分析:(1)由 可得函数f(x)+g(x)的定义域;
(2)根据F(﹣x)=F(x),可得:函数F (x)是偶函数;
(3)F(x)=f(x)+g(x)在区间(0,1)上是减函数,作差可证明结论.
试题解析:
(1)要使函数有意义,则
,
解得,即函数的定义域为{x |
};
(2),其定义域关于原点对称,
又,∴函数F (x)是偶函数.
(3)在区间(0,1)上是减函数.
设x1、x2∈(0,1),x1 < x2,则
,
∵x1、x2∈(0,1),x1 < x2
∴,即
∵x1、x2∈(0,1),∴,
∴,故
,即
,
故在区间(0,1)上是减函数.
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【题目】已知四面体ABCD的顶点都在球O表面上,且AB=BC=AC=2 ,DA=DB=DC=2,过AD作相互垂直的平面α、β,若平面α、β截球O所得截面分别为圆M、N,则( )
A.MN的长度是定值
B.MN长度的最小值是2
C.圆M面积的最小值是2π
D.圆M、N的面积和是定值8π
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【题目】已知函数f(x)=6cos2+
sinωx-3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A为图象的最高点,B、C为图象与x轴的交点,且△ABC为正三角形.
(1)求ω的值及函数f(x)的值域;
(2)若f(x0)=,且x0∈(-
,
),求f(x0+1)的值.
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【题目】如图,四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,BC⊥CD,平面SCD⊥平面ABCD,SC=SD=CD=AD=2AB,M,N分别为SA,SB的中点,E为CD中点,过M,N作平面MNPQ分别与BC,AD交于点P,Q,若 =t
.
(1)当t= 时,求证:平面SAE⊥平面MNPQ;
(2)是否存在实数t,使得二面角M﹣PQ﹣A的平面角的余弦值为 ?若存在,求出实数t的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=ax2+(x﹣1)ex .
(1)当a=﹣ 时,求f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程;
(2)讨论f(x)的单调性;
(3)当﹣ <a<﹣
时,f(x)是否存在极值?若存在,求所有极值的和的取值范围.
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【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥底面ABCD,AD=AP,E为棱PD中点.
(1)求证:PD⊥平面ABE;
(2)若F为AB中点, ,试确定λ的值,使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为-
.
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