Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=90°，侧面PAD⊥底面ABCD，∠PAD=90°．若AB=BC=

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AD．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，求证：BE∥平面PCD．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲证CD⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证CD与平面PAC内两相交直线垂直，根据面面垂直的性质定理可知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，利用勾股定理可知AC⊥CD，PA∩AC=A，满足定理条件；
（Ⅱ）欲证BE∥平面PCD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BE与平面PCD内一直线平行，设侧棱PD的中点为F，连接BE，EF，FC，易证四边形BEFC为平行四边形，则BE∥CF，BE?平面PCD，CF?平面PCD，满足定理所需条件．

解答：解：
（Ⅰ）证明：因为∠PAD=90°，所以PA⊥AD．
又因为侧面PAD⊥底面ABCD，
且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
所以PA⊥底面ABCD．
而CD?底面ABCD，所以PA⊥CD．
在底面ABCD中，因为∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=

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AD，
所以AC=CD=

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AD，所以AC⊥CD．
又因为PA∩AC=A，所以CD⊥平面PAC．（6分）
（Ⅱ）设侧棱PD的中点为F，连接BE，EF，FC，
则EF∥AD，且EF=

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AD．
由已知∠ABC=∠BAD=90°，
所以BC∥AD．又BC=

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AD，
所以BC∥EF．且BC=EF．
所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE∥CF．
因为BE?平面PCD，CF?平面PCD，
所以BE∥平面PCD．（13分）

点评：本题主要考查了线面垂直的判定、以及线面平行的判定，同时考查了空间想象能力，推理论证能力，属于中档题．