Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，侧棱AA₁⊥底面 ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，AD=AA₁=3，BC=1，E₁为A₁B₁中点．
（Ⅰ）证明：B₁D∥平面AD₁E₁；
（Ⅱ）若AC⊥BD，求平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连结A₁D交AD₁于G，四边形ADD₁A₁为平行四边形，从而B₁D∥E₁G，由此能证明B₁D∥平面AD₁E₁．
（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACD₁的一个法向量和平面CDD₁C₁的一个法向量，由此利用向量法能求出平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（锐角）的余弦值．

解答： 解：（Ⅰ）证明：连结A₁D交AD₁于G，
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为四棱柱，
所以四边形ADD₁A₁为平行四边形，
所以G为A₁D的中点，
又E₁为A₁B₁中点，所以E₁G为△A₁B₁D的中位线，
从而B₁D∥E₁G…（4分）
又因为B₁D?平面AD₁E₁，E₁G?平面AD₁E₁，
所以B₁D∥平面AD₁E₁．   …（5分）
（Ⅱ）解：因为AA₁⊥底面ABCD，AB?面ABCD，AD?面ABCD，
所以AA₁⊥AB，AA₁⊥AD，又∠BAD=90°，
所以AB，AD，AA₁两两垂直．…（6分）
如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA₁所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系．
设AB=t，则A（0，0，0），B（t，0，0），C（t，1，0），
D（0，3，0），C₁（t，1，3），D₁（0，3，3）．
从而

AC

=(t，1，0)，

BD

=(-t，3，0)．
因为AC⊥BD，所以

AC

•

BD

=-t2+3+0=0，解得t=

3

．…（8分）
所以

AD1

=(0，3，3)，

AC

=(

3

，1，0)．
设

n1

=(x1，y1，z1)是平面ACD₁的一个法向量，
则

AC • n1 =0 AD1 • n1 =0.

即

3 x1+y1=0 3y1+3z1=0

令x₁=1，则

n1

=(1，-

3

，

3

)．…（9分）
又

CC1

=(0，0，3)，

CD

=(-

3

，2，0)．
设

n2

=(x2，y2，z2)是平面CDD₁C₁的一个法向量，
则

CC1 • n2 =0 CD • n2 =0.

即

z2=0 - 3 x2+2y2=0

令x₂=1，则

n2

=(1，

3

2

，0)．…（10分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

|1×1+ 3 2 ×(- 3 )+ 3 ×0|

1+3+3 × 1+ 3 4 +0

=

1

7

，
∴平面ACD₁和平面CDD₁C₁所成角（锐角）的余弦值

1

7

．…（12分）

点评：本小题考查空间中直线与平面的位置关系、空间向量的应用等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．