Question

14．若函数f（x）=x，则称x为该函数的“不动点”．下列命题正确的序号是②．
①f（x）=x²的不动点至多有一个；
②若f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（f（x）），则2014是函数g（x）的不动点；
③f（x）=e^x存在唯一的不动点．

Answer 1

分析 由不动点的定义，依次判断方程f（x）=x是否有解即可．

解答 解：∵方程f（x）=x²=x有两个解0，1；
∴f（x）=x²的不动点有两个，故①错误；
∵f（x）=$\frac{1}{x}$，g（x）=f（f（x））=f（$\frac{1}{x}$）=x，x≠0；
∴2014是方程g（x）=x的解，
∴2014是函数g（x）的不动点，故②正确；
设h（x）=f（x）-x=e^x-x，
则h′（x）=e^x-1，
故h（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，
故h（x）≥h（0）=1，
故f（x）=e^x不存在的不动点，故③错误；
故答案为：②．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了学生对新定义的接受能力．