Question

4．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n +a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），记T_n=a₁+a₂ •4+a₃ •4²+…+a_n•4^n-1，则5T_n-4ⁿa_n=n．

Answer 1

分析 a_n +a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），变形为${a}_{n+1}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，利用等比数列的通项公式可得a_n，再利用等比数列的前n项和公式可得T_n，即可得出．

解答 解：∵a_n +a_n+1=（$\frac{1}{4}$）ⁿ（n∈N^*），∴${a}_{n+1}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n+1}$=-$[{a}_{n}-\frac{4}{5}（\frac{1}{4}）^{n}]$，
∴数列$\{{a}_{n}-\frac{4}{5}•（\frac{1}{4}）^{n}\}$是等比数列，首项为$\frac{4}{5}$，公比为-1．
∴${a}_{n}-\frac{4}{5}•（\frac{1}{4}）^{n}$=$\frac{4}{5}（-1）^{n-1}$，
∴a_n=$\frac{4}{5}•（\frac{1}{4}）^{n}+\frac{4}{5}×（-1）^{n-1}$，
∴${a}_{n}•{4}^{n-1}$=$\frac{1}{5}+$$\frac{{4}^{n}}{5}（-1）^{n-1}$，4ⁿ•a_n=$\frac{4}{5}$+$\frac{{4}^{n+1}}{5}×（-1）^{n-1}$．
∴T_n=$\frac{n}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{4[1-（-4）^{n}]}{1-（-4）}$，∴5T_n=n+$\frac{4}{5}-\frac{4}{5}×（-4）^{n}$=n+$\frac{4}{5}$+（-1）ⁿ⁺¹×$\frac{{4}^{n+1}}{5}$，
∴5T_n-4ⁿa_n=n．
故答案为：n．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．