Question

5．定义在R上的函数f（x）可导，且f（x）图象连续，当x≠0时f′（x）+x^-1f（x）＞0，则函数g（x）=f（x）-x^-1的零点的个数至多为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}$＞0，进而可得函数xf（x）单调性，而函数g（x）=$\frac{xf（x）-1}{x}$的零点个数等价为函数y=xf（x）-1的零点个数，进而得到答案．

解答 解：由f'（x）+x^-1f（x）＞0，得$\frac{xf′（x）+f（x）}{x}$＞0，
当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，即[xf（x）]′＞0，函数xf（x）单调递增；
当x＜0时，xf′（x）+f（x）＜0，即[xf（x）]′＜0，函数xf（x）单调递减．
又g（x）=f（x）-x^-1=$\frac{xf（x）-1}{x}$，函数g（x）=$\frac{xf（x）-1}{x}$的零点个数等价为函数y=xf（x）-1的零点个数．
函数y=xf（x）-1有两个零点，
所以函数g（x）=f（x）-x^-1的零点个数至多为2个．
故选：B．

点评 本题考查根的存在性及根的个数的判断，涉及函数的单调性，属中档题