Question

14．一个正三棱柱的正视图是正方形，且它的外接球的表面积等于$\frac{25π}{3}$，则这个正三棱柱的底面边长为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\frac{5\sqrt{7}}{7}$
• D． 3

Answer 1

分析 由题设条件可得出正三棱柱的外接球半径、底面边长，由于其外接球的球心是棱柱上下底面的中点连线的中点Q，求出Q到棱柱顶点的距离即可求出球的半径，再由球的表面积公式求出球的表面积即可选出正确选项

解答 解：如图
设三棱柱的棱长为a，则它的外接球球心O到底面距离为$\frac{1}{2}a$，
由已知设球半径为r，
∵外接球的表面积等于$\frac{25π}{3}$，
∴4πr²=$\frac{25π}{3}$，解得r²=$\frac{25}{12}$，
如图，O′A=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，O′A²+O′O²=r²=$\frac{{a}^{2}}{3}+\frac{{a}^{2}}{4}$，
∴a²=$\frac{25}{7}$，a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$
故选：C．

点评 本题考查了球的内接正三棱柱的问题；解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与及球的定义，在球的内接多面体中一般容易出现直角三角形，进而利用勾股定理解决问题即可．