Question

7．设x=m和x=n是函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}{x}^{2}$-（a+2）x的两个极值点，其中m＜n，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于y轴，求实数a的值；
（2）求f（m）+f（n）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由题意可得k=0，解方程即可得到a的值；
（2）确定函数f（x）的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求f（m）+f（n）的取值范围．

解答 解：（1）f（x）的导数为f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+2），
曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线斜率为k=1+1-a-2=0，
解得a=0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+x-（a+2）=$\frac{{x}^{2}-（a+2）x+1}{x}$，
依题意，方程x²-（a+2）x+1=0有两个不等的正根m，n（其中m＜n）．
故$\left\{\begin{array}{l}{（a+2）^{2}-4＞0}\\{a+2＞0}\end{array}\right.$，解得a＞0，
并且m+n=a+2，mn=1．
所以f（m）+f（n）=lnmn+$\frac{1}{2}$（m²+n²）-（a+2）（m+n）
=$\frac{1}{2}$[（m+n）²-2mn]-（a+2）（m+n）=-$\frac{1}{2}$（a+2）²-1＜-3，
故f（m）+f（n）的取值范围是（-∞，-3）．

点评 本题考查导数知识的运用，考查切线的方程，考查函数的极值，主要考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．