Question

19．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，点F（0，1）是线段MD的中点，$\overrightarrow{MD}$•$\overrightarrow{MN}$=$\frac{{π}^{2}}{18}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）由图象以及函数f（x）的解析式可以得出M，N，D三点的坐标：$M（-\frac{φ}{ω}，0）$，$N（\frac{π}{ω}-\frac{φ}{ω}，0）$，$D（\frac{π}{2ω}-\frac{φ}{ω}，A）$，而根据条件MD的中点为F（0，1）及$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{MN}=\frac{{π}^{2}}{18}$即可建立关于A，ω，φ三个参数的值，从而得出f（x）=$2sin（3x+\frac{π}{4}）$；
（2）根据正弦函数的单调递增区间，可令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z，解出x的范围即可得出该函数的单调递增区间．

解答 解：（1）根据f（x）的解析式及图象可得以下几点坐标：
$M（-\frac{φ}{ω}，0）$，$N（\frac{π}{ω}-\frac{φ}{ω}，0）$，$D（\frac{π}{2ω}-\frac{φ}{ω}，A）$；
∴$\overrightarrow{MN}=（\frac{π}{ω}，0），\overrightarrow{MD}=（\frac{π}{2ω}，A）$；
∵MD的中点为F（0，1），$\overrightarrow{MD}•\overrightarrow{MN}=\frac{{π}^{2}}{18}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\frac{π}{2ω}-\frac{2φ}{ω}}{2}=0}\\{\frac{A+0}{2}=1}\\{\frac{π}{ω}•\frac{π}{2ω}+0=\frac{{π}^{2}}{18}}\end{array}\right.$；
解得$φ=\frac{π}{4}，A=2，ω=3$；
∴$f（x）=2sin（3x+\frac{π}{4}）$；
（2）令$-\frac{π}{2}+2kπ≤3x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，k∈Z；
∴$-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}≤x≤\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}$，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递增区间为$[-\frac{π}{4}+\frac{2kπ}{3}，\frac{π}{12}+\frac{2kπ}{3}]$，k∈Z．

点评 考查形如y=Asin（ωx+φ）的函数的周期、最高点，图象的平移变换，根据函数解析式f（x）=Asin（ωx+φ）和图象可以确定图象的最高点，以及和x轴交点的坐标，中点坐标公式，以及向量数量积的坐标运算，以及形如y=Asin（ωx+φ）的函数的单调区间的求法．