Question

14．已知函数f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）在△ABC中，A、B、C分别为三边a，b，c所对的角，若a=$\sqrt{3}$，f（a）=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可求函数f（x）的最小正周期，由-$\frac{π}{2}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由f（a）=1，可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，结合0＜A＜π，可求A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得3=（b+c）²-3bc，又bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，可得3≥（b+c）²-3（$\frac{b+c}{2}$）²，即可解得b+c的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-sin²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，
∴由-$\frac{π}{2}$+2kπ＜2x+$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，解得函数f（x）的单调递增区间为：（-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ），k∈Z．
（2）由f（a）=1，可得2sin（2A+$\frac{π}{6}$）=1，又0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，即3=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
又bc≤（$\frac{b+c}{2}$）²，
所以3=（b+c）²-3bc≥（b+c）²-3（$\frac{b+c}{2}$）²，
故b+c$≤2\sqrt{3}$，当且仅当b=c且b²+c²-bc=3，即b=c=$\sqrt{3}$时等号成立．
因此b+c的最大值为2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质，三角函数周期公式的应用，考查了余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握公式及定理是解题的关键，属于中档题．