【题目】2017年是某市大力推进居民生活垃圾分类的关键一年,有关部门为宣传垃圾分类知识,面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识”的网络问卷调查,每位市民仅有一次参与机会,通过抽样,得到参与问卷调查中的1000人的得分数据,其频率分布直方图如图所示:
(1)估计该组数据的中位数、众数;
(2)由频率分布直方图可以认为,此次问卷调查的得分服从正态分布
,
近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该区间的中点值作代表),利用该正态分布,求
;
(3)在(2)的条件下,有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:
(ⅰ)得分不低于可获赠2次随机话费,得分低于
则只有1次;
(ⅱ)每次赠送的随机话费和对应概率如下:
现有一位市民要参加此次问卷调查,记 (单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求
的分布列和数学期望.
附: ,
若,则
,
.
【答案】(1)中位数为,众数为65.(2)
(3)
,分布列见解析
【解析】试题分析:(1)由频率分布直方图可估计该组数据的中位数、众数;
(2)利用加权平均数公式计算平均值;再根据正态分布的性质求
;
(3)设得分不低于分的概率为
,则
,则
的取值为10,20,30,40,利用相互独立事件的概率公式计算各个概率,得到
的分布列和数学期望..
试题解析:(1)由
,得
,设中位数为
,由
,解得
,由频率分布直方图可知众数为65.
(2)从这1000人问卷调查得到的平均值为
因为由于得分服从正态分布
,
所以
.
(3)设得分不低于分的概率为
,则
,
的取值为10,20,30,40,
,
,
,
,
所以的分布列为:
所以.
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【题目】某图书公司有一款图书的历史收益率(收益率=利润÷每本收入)的频率分布直方图如图所示:
(1)试估计平均收益率;(用区间中点值代替每一组的数值)
(2)根据经验,若每本图书的收入在20元的基础上每增加元,对应的销量
(万份)与
(元)有较强线性相关关系,从历史销售记录中抽样得到如下5组
与
的对应数据:
据此计算出的回归方程为
①求参数的估计值;
②若把回归方程当作
与
的线性关系,
取何值时,此产品获得最大收益,并求出该最大收益.
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【题目】设椭圆的离心率为
,左顶点到直线
的距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆C相交于A、B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点O,试探究:点O到直线AB的距离是否为定值?若是,求出这个定值;否则,请说明理由;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求△AOB面积S的最小值.
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【题目】我国古代数学名著《九章算术》中,将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称之为堑堵;将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称之为阳马;将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑[biē nào].某学校科学小组为了节约材料,拟依托校园内垂直的两面墙和地面搭建一个堑堵形的封闭的实验室,
是边长为2的正方形.
(1)若,
在
上,四面体
是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角:若不是,请说明理由;
(2)当阳马的体积最大时,求点
到平面
的距离.
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【题目】如图,底面半径为,母线长为
的圆柱的轴截面是四边形
,线段
上的两动点
,
满足
.点
在底面圆
上,且
,
为线段
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
;
(Ⅱ)四棱锥的体积是否为定值,若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知椭圆
的离心率为
,左焦点
,直线
与椭圆交于
两点,
为椭圆上异于
的点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若,以
为直径的圆
过
点,求圆
的标准方程;
(3)设直线与
轴分别交于
,证明:
为定值.
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