Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左焦点，直线与椭圆交于两点， 为椭圆上异于的点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，以为直径的圆过点，求圆的标准方程；

（3）设直线与轴分别交于，证明： 为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据离心率为，左焦点，可求出和，从而求出椭圆的方程；（2）设，则，且，由，以为直径的圆过点可得即，从而可求出圆的标准方程；（3）设，则的方程为，求出两点的纵坐标，则 ，化简求得.

试题解析：（1）∵且

∴， .

∴椭圆方程为.

（2）设，则，且.①

∵以为直径的圆过点

∴

∴，

又∵，

∴.②

由①②解得： ，或（舍）

∴.

又∵圆的圆心为的中点，半径为，

∴圆的标准方程为.

（3）设，则的方程为，若不存在，显然不符合条件.

令得；同理，

∴ 为定值.