Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，且，,点为线段的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）4

【解析】

（Ⅰ）连结BD，交AC于点O，连结OE．可得PB∥OE，再由线面平行的判定可得PB∥平面ACE；

（Ⅱ）由PA＝AD，E为线段PD的中点，得AE⊥PD，再由PA⊥平面ABCD，得PA⊥CD，由线面垂直的判定可得AE⊥平面PCD,从而得证；

（Ⅲ）根据AE⊥平面PCD，结合三棱锥的体积公式求出其体积即可．

（Ⅰ）证明：连接,交于点,连接,

因为是矩形对角线交点，所以为中点，

又已知为线段的中点，所以,又平面

平面,所以平面；

（Ⅱ）证明：因为平面，平面,

所以,又因为底面是矩形，

所以,,平面,平面.

所以,为的中点, ,

所以,,

所以平面, .

（Ⅲ）.