Question

设不等式2(log

1

2

x)2-3log

1

2

x+1≤0的解集为M，求当x∈M时函数f(x)=(log2

x

2

)(log2

x

8

)的最大、最小值．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,二次函数在闭区间上的最值

专题：不等式的解法及应用

分析：先求出对数不等式2(log

1

2

x)2-3log

1

2

x+1≤0的解集为M，然后根据对数运算性质化简函数f（x），利用换元法转化成二次函数在闭区间上的最值问题，从而求出所求．

解答： 解：∵2(log

1

2

x)2-3log

1

2

x+1≤0，
∴(2log

1

2

x-1)(log

1

2

x-1)≤0，
解得：

1

2

≤log

1

2

x≤1，
∴

1

2

≤x≤

2

2

，即M=[

2

，2]，
∵f(x)=(log2

x

2

)(log2

x

8

)=(log2x)2-4log2x+3，
∴令t=log₂x，则t∈[-1，-

1

2

]，
∴y=（t-2）²-1，而y=（t-2）²-1在t∈[-1，-

1

2

]上单调递减，
∴当t=-

1

2

时取最小值为

21

4

，当t=-1取最大值为8．

点评：本题主要考查了对数不等式的解法，以及二次函数在闭区间上的最值，同时考查了运算求解的能力和换元的思想，属于中档题．