Question

15．已知关于x的方程kx²+（2k-1）x+k+1=0，问k为何值时．
（1）方程两根均正；
（2）方程至少有一根在（3，4）内．

Answer 1

分析 由条件利用二次函数的性质，求得k的范围．

解答 解：（1）关于x的方程kx²+（2k-1）x+k+1=0，由$\left\{\begin{array}{l}{△{=（2k-1）}^{2}-4k（k+1）≥0}\\{{x}_{1}{+x}_{2}=\frac{1-2k}{k}＞0}\\{{x}_{1}{•x}_{2}=\frac{k+1}{k}＞0}\end{array}\right.$，求得 0＜k≤$\frac{1}{8}$．
（2）若方程只有有一根在（3，4）内，令f（x）=kx²+（2k-1）x+k+1，
则f（3）f（4）=（16k-2）（25k-3）＜0，求得$\frac{3}{25}$＜k＜$\frac{1}{8}$．
若方程有两个根在（3，4）内，则由$\left\{\begin{array}{l}{△{=（2k-1）}^{2}-4k（k+1）≥0}\\{3＜\frac{1-2k}{2k}＜4}\\{f（3）=16k-2＞0}\\{f（4）=25k-3＞0}\end{array}\right.$，求得k∈∅．
综上可得，k的范围是（$\frac{3}{25}$，$\frac{1}{8}$）．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．