Question

10．已知x=log_2aa，y=log_3a2a，求证：2^1-xy=3^y-xy．

Answer 1

分析 m由已知得a=（2a）^x，2a=（3a）^y，从而（x-1）lga=lg（2^-x），（y-1）lga=lg（2•3^-y），由此能证明2^1-xy=3^y-xy．

解答 解：∵x=log_2aa，y=log_3a2a，
∴a=（2a）^x，2a=（3a）^y，
∴a^x-1=2^-x，a^y-1=2•3^-y，
∴（x-1）lga=lg（2^-x），（y-1）lga=lg（2•3^-y），
∴$\frac{x-1}{y-1}$=$\frac{lg{2}^{-x}}{lg2•{3}^{-y}}$，
∴2^{（-x）（y-1）}=2^x-1•3^{（-y）（x-1）}，
∴2^1-xy=3^y-xy．

点评 本题考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意对数和指数的性质和运算法则的合理运用．