Question

【题目】已知函数f（x）＝2x3﹣3ax2+1．

（1）若a＝﹣1，求函数f（x）的单调区间；

（2）若函数f（x）有且只有2个不同的零点，求实数a的值；

（3）若函数y＝|f（x）|在[0，1]上的最小值是0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）函数f（x）的增区间为（﹣∞，﹣1），（0，+∞），减区间为（﹣1，0）

（2）1

（3）[1，+∞）

【解析】

(1)求出的导数,解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可;

(2)通过讨论的范围,确定函数的单调性, 函数有且只有个不同的零点即可求得的值;

(3)通过讨论的范围,确定函数的单调性,再根据函数在上的最小值是并结合图像可求得实数的取值范围.

（1）时，．

当，时，

,

当时，，

故函数的增区间为，，减区间为．

（2），

①时，在上单调递增，不存在两个零点；

②时，在，递增，在递减．

其图象如下：

函数不存在2个不同的零点；

③时，在，递增，在递减．

其图象如下：

只需，即可

综上，函数有且只有个不同的零点，实数的值为.

（3）①时，在上单调递增，，不符合题意；

②时，在递增，，不符合题意；

③时，在，递增，在递减．

图象如下：

要使函数在上的最小值是，只需，,

故实数的取值范围为．