Question

【题目】如图，在三棱柱中，平面，为边上一点，，.

（1）证明：平面平面.

（2）若，试问：是否与平面平行？若平行，求三棱锥的体积；若不平行，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）两者平行，且 .

【解析】

（1）利用平面，证得平面，得到，利用余弦定理证得，由此证得平面，从而证得平面平面.（2）取的中点，连接，通过证明四边形为平行四边形，证得,同理证得,所以平面平面，由此证得平面.利用求得三棱锥的体积.

(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，

所以BB1⊥平面ABC，

因为，

所以AD⊥BB1．

在△ABD中，由余弦定理可得，，

则，

所以AD⊥BC，

又，

所以AD⊥平面BB1C1C，

因为，

所以平面ADB1⊥平面BB1C1C．

(2)解：A1C与平面ADB1平行．

证明如下：取B1C1的中点E，连接DE，CE，A1E，

因为BD＝CD，所以DE∥AA1，且DE＝AA1，

所以四边形ADEA1为平行四边形，

则A1E∥AD．

同理可证CE∥B1D．

因为，

所以平面ADB1∥平面A1CE，

又，

所以A1C∥平面ADB1．

因为AA1∥BB1，

所以，

又，且易证BD⊥平面AA1D，

所以．