【题目】已知圆,直线
是圆
与圆
的公共弦
所在直线方程,且圆
的圆心在直线
上.
(1)求公共弦的长度;
(2)求圆的方程;
(3)过点分别作直线
,
,交圆
于
,
,
,
四点,且
,求四边形
面积的最大值与最小值.
【答案】(1);(2)
;(3)最大值17,最小值12
.
【解析】
(1)根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可;
(2)圆的圆心在直线
上,设圆心
,求出圆心的半径即可得到圆的方程;
(3)对直线,
分两种情况讨论,即当过点
的互相垂直的直线
,
为
轴,垂直于
轴时和当过点
的互相垂直的直线
,
不垂直于
轴时,写出四边形
面积的的表达式,再利用函数知识求最大值与最小值.
圆,所以圆
的圆心坐标
,半径
,
(1)圆心到直线的距离
,
公共弦
;
(2)圆的圆心在直线
上,设圆心
,由题意得
,
,即
,
到
的距离
,所以
的半径
,
所以圆的方程:
;
(3)当过点的互相垂直的直线
,
为
轴,垂直于
轴时,
,这时直线
的方程为
,代入到圆
中,
,
所以,四边形
的面积
;
当过点的互相垂直的直线
,
不垂直于
轴时,
设直线为:
,
则直线为:
,
所以圆心到直线
的距离
,圆心
到直线
的距离
,
,
,
设,
当或1时,正好是
轴及垂直
轴,
面积,
当时,
最大且
,
或1时,
最小
,
四边形面积的最大值17,最小值
.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(–1,
),P4(1,
)中恰有三点在椭圆C上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1,证明:l过定点.
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【题目】已知函数f(x)=ex(x﹣a)2+4.
(1)若f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(2)若x≥0,不等式f(x)≥0恒成立,求a的取值范围.
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【题目】如图,在三棱柱中,
平面
,
为
边上一点,
,
.
(1)证明:平面平面
.
(2)若,试问:
是否与平面
平行?若平行,求三棱锥
的体积;若不平行,请说明理由.
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【题目】已知点是抛物线
上一点,
为
的焦点.
(1)若,
是
上的两点,证明:
,
,
依次成等比数列.
(2)过作两条互相垂直的直线与
的另一个交点分别交于
,
(
在
的上方),求向量
在
轴正方向上的投影的取值范围.
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【题目】已知数列中,
,
,
.
(1)证明:数列是等比数列,并求数列
的通项公式;
(2)在数列中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由;
(3)若且
,
,求证:使得
,
,
成等差数列的点列
在某一直线上.
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【题目】某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市的甲地、乙地分别对5个企业(共10个企业)进行综合评估,得分情况如茎叶图所示.
(Ⅰ)根据茎叶图,求乙地对企业评估得分的平均值和方差;
(Ⅱ)规定得分在85分以上为优秀企业. 若从甲、乙两地准备引进的优秀企业中各随机选取1个,求这两个企业得分的差的绝对值不超过5分的概率.
注:方差
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【题目】设命题p:实数x满足x2-2ax-3a2<0(a>0),命题q:实数x满足≥0.
(Ⅰ)若a=1,p,q都为真命题,求x的取值范围;
(Ⅱ)若q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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