【题目】已知数列中,
,
,
.
(1)证明:数列是等比数列,并求数列
的通项公式;
(2)在数列中,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,请说明理由;
(3)若且
,
,求证:使得
,
,
成等差数列的点列
在某一直线上.
【答案】(1)详见解析;(2),
,
成等差数列;(3)详见解析.
【解析】
试题(1)证明一个数列为等比或等差数列,一般都是从定义入手,本小题首先需要将已知条件变形为
,由于
,则
(常数),然后根据等比数列的定义可知数列
是以
为首项,公比为
的等比数列,即
(
);
(2)本小题首先假设在数列中存在连续三项
,
,
(
,
)成等差数列,则
,代入通项公式可得
,即
,
,
成等差数列.
(3)本小题首先根据,
,
成等差数列,则
,于是可得
,然后通过不定方程的分类讨论可得结论
试题解析:(1)将已知条件变形为
由于,则
(常数)
即数列是以
为首项,公比为
的等比数列
所以,即
(
)
(2)假设在数列中存在连续三项成等差数列,
不妨设连续的三项依次为,
,
(
,
),
由题意得,,
将,
,
代入上式得
化简得,,即
,得
,解得
所以,存在满足条件的连续三项为,
,
成等差数列
(3)若,
,
成等差数列,则
即,变形得
11分
由于若,
且
,下面对
、
进行讨论:
① 若,
均为偶数,则
,解得
,与
矛盾,舍去;
② 若为奇数,
为偶数,则
,解得
;
③ 若为偶数,
为奇数,则
,解得
,与
矛盾,舍去;
④ 若,
均为奇数,则
,解得
,与
矛盾,舍去;
综上①②③④可知,只有当为奇数,
为偶数时,
,
,
成等差数列,此时满足条
件点列落在直线
(其中
为正奇数)上
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【题目】如图所示,椭圆的左、右顶点分别为
,离心率
,长轴与短轴的长度之和为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)在椭圆上任取点
(与
两点不重合),直线
交
轴于点
,直线
交
轴于点
,证明:
为定值.
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【题目】空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法,
指数与空气质量对应如下表所示:
如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图.
根据统计图判断,下列结论正确的是( )
A. 整体上看,这个月的空气质量越来越差
B. 整体上看,前半月的空气质量好于后半月的空气质量
C. 从数据看,前半月的方差大于后半月的方差
D. 从数据看,前半月的平均值小于后半月的平均值
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【题目】已知函数f(x)=2x3﹣3ax2+1.
(1)若a=﹣1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)有且只有2个不同的零点,求实数a的值;
(3)若函数y=|f(x)|在[0,1]上的最小值是0,求实数a的取值范围.
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【题目】已知圆,直线
是圆
与圆
的公共弦
所在直线方程,且圆
的圆心在直线
上.
(1)求公共弦的长度;
(2)求圆的方程;
(3)过点分别作直线
,
,交圆
于
,
,
,
四点,且
,求四边形
面积的最大值与最小值.
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【题目】分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.分形的外表结构极为复杂,但其内部却是有规律可寻的.一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统.下面我们用分形的方法来得到一系列图形,如图1,线段的长度为a,在线段
上取两个点
,
,使得
,以
为一边在线段
的上方做一个正六边形,然后去掉线段
,得到图2中的图形;对图2中的最上方的线段
作相同的操作,得到图3中的图形;依此类推,我们就得到了以下一系列图形:
记第个图形(图1为第1个图形)中的所有线段长的和为
,现给出有关数列
的四个命题:
①数列是等比数列;
②数列是递增数列;
③存在最小的正数,使得对任意的正整数
,都有
;
④存在最大的正数,使得对任意的正整数
,都有
.
其中真命题的序号是________________(请写出所有真命题的序号).
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【题目】某小学举办“父母养育我,我报父母恩”的活动,对六个年级(一年级到六年级的年级代码分别为1,2…,6)的学生给父母洗脚的百分比y%进行了调查统计,绘制得到下面的散点图.
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)建立y关于x的回归方程,并据此预计该校学生升入中学的第一年(年级代码为7)给父母洗脚的百分比.
附注:参考数据:
参考公式:相关系数,若r>0.95,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
=
,
.
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,
为椭圆
短轴的一个端点,
为椭圆
的右焦点,线段
的延长线与椭圆
相交于点
,且
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设直线与椭圆
相交于
,
两点,
为坐标原点,若直线
与
的斜率之积为
,求
的取值范围.
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【题目】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异。”意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.已知曲线,直线
为曲线
在点
处的切线.如图所示,阴影部分为曲线
、直线
以及
轴所围成的平面图形,记该平面图形绕
轴旋转一周所得的几何体为
.给出以下四个几何体:
① ② ③ ④
图①是底面直径和高均为的圆锥;
图②是将底面直径和高均为的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;
图③是底面边长和高均为的正四棱锥;
图④是将上底面直径为,下底面直径为
,高为
的圆台挖掉一个底面直径为
,高为
的倒置圆锥得到的几何体.
根据祖暅原理,以上四个几何体中与的体积相等的是( )
A. ①B. ②C. ③D. ④
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