Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，为椭圆短轴的一个端点，为椭圆的右焦点，线段的延长线与椭圆相交于点，且.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，为坐标原点，若直线与的斜率之积为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意得b=2，由，得到，代入椭圆方程，结合a2＝b2+c2，联立解出即可．

（2）解法一：先考虑斜率存在时，设直线的方程为，与椭圆方程联立，将条件坐标化，把根与系数的关系代入可得：，代入中，化简得，又，可得所求范围，再考虑斜率不存在时，求得点A，B坐标，计算数量积，与k存在时的范围取并集即可.

解法二：设直线OA斜率为k，将直线OA的方程与椭圆联立，求得A的坐标，利用写出B的坐标，代入化简后，利用基本不等式求得最值.

（1）设椭圆的方程为，右焦点，

因为为椭圆短轴的一个端点，则.因为，则点.

因为点在椭圆上，则，即.

又，则，得，所以椭圆的标准方程是.

（2）解法一：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代入椭圆方程，得，即.

设点，，则，.

因为，则，即，即，

即，所以，

即，化简得.

所以 .

因为 ，，则，

所以.

又，则，即，则，所以.

当直线的斜率不存在时，点，关于轴对称，则.

因为，不妨设，则.联立与，得点，，或点，，此时.

综上分析，的取值范围是.

解法二：因为，设，则.

设点，，则，即，

所以.

由，得，即，所以.

同理，.

所以 .

因为，当且仅当，即时取等号，则.

即，且，所以的取值范围是.