【题目】已知函数.
(I)若在
处取得极值,求过点
且与
在
处的切线平行的直线方程;
(II)当函数有两个极值点
,且
时,总有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)
【解析】
(Ⅰ)求导函数,利用极值点必为f′(x)=0的根,求出a的值,可得斜率,利用点斜式写出方程即可.
(II)由题意得u(x)=2x2﹣8x+a=0在(0,+∞)上有两个不等正根,可得a的范围,利用根与系数的关系将中的a,
都用
表示,构造函数,对m分类讨论,利用导数研究其单调性即可得出.
(Ⅰ)由已知
知
,
,点
,所以所求直线方程为
.
(Ⅱ)定义域为
,令
,由
有两个极值点
得
有两个不等的正根,
所以
,
所以
由
知
不等式等价于
,
即
时
,
时
令,
当
时,
,所以
在
上单调递增,又
,
所以时,
;
时,
所以,不等式
不成立
当
时,令
(i)方程的
即
时
所以
在
上单调递减,又
,
当时,
,不等式
成立
当时,
,不等式
成立
所以时不等式
成立
(ii)当即
时,
对称轴
开口向下且
,令
则
在
上单调递增,又
,
,
时不等式
不成立,综上所述,则
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【题目】(1)阅读下列材料并填空:对于二元一次方程组,我们可以将
、
的系数和相应的常数项排成一个数表
,求得的一次方程组的解
,用数表可表示为
.用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下,请补全其中的空白:
,从而得到该方程组的解集________;
(2)仿照(1)中数表的书写格式写出解方程组的过程.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,直线
经过点
,其倾斜角为
,在以原点
为极点,
轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位),曲线
的极坐标方程为
(Ⅰ)若直线与曲线
有公共点,求
的取值范围;
(Ⅱ)设为曲线
上任意一点,求
的取值范围.
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【题目】已知动点到定直线
:
的距离比到定点
的距离大2.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)在轴正半轴上,是否存在某个确定的点
,过该点的动直线
与曲线
交于
,
两点,使得
为定值.如果存在,求出点
坐标;如果不存在,请说明理由.
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【题目】在5件产品中,有3件一等品和2件二等品,从中任取2件,以为概率的事件是( )
A. 恰有1件一等品 B. 至少有一件一等品
C. 至多有一件一等品 D. 都不是一等品
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【题目】某大型高端制造公司为响应(中国制造2025)中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据:
月份 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
研发费用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 21 | 13 | 15 | 18 |
产品销量 | 1 | 1 | 2 | 2.5 | 6 | 3.5 | 3.5 | 4.5 |
(1)根据数据可知与
之间存在线性相关关系.
(i)求出关于
的线性回归方程(系数精确到0.001);
(ii)若2018年6月份研发投人为25百万元,根据所求的线性回归方估计当月产品的销量;
(2)为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以(单位:万台)表示日销量,
,则每位员工每日奖励200元;
,则每位员工每日奖励300元;
,则每位员工每日奖励400元.现已知该公司9月份日销量
(万台)服从正态分布
,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元
参考数据:.
参考公式:对于一组数据.其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
若随机变量服从正态分布
,则
.
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【题目】已知抛物线过点
,且焦点为
,直线
与抛物线相交于
两点.
(1)求抛物线的方程,并求其准线方程;
(2)若直线经过抛物线
的焦点
,当线段
的长等于5时,求直线
方程.
(3)若,证明直线
必过一定点,并求出该定点.
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