Question

【题目】如图所示，椭圆的左、右顶点分别为，离心率，长轴与短轴的长度之和为.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）在椭圆上任取点（与两点不重合），直线交轴于点，直线交轴于点，证明：为定值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4

【解析】

（Ⅰ）由题意，2a+2b＝10，结合 解得a＝3，b＝2，即得到椭圆方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），直线PA交y轴于点C（0，y1），直线PB交y轴于点D（0，y2），求得直线PA，PB的方程，分别求出y1，y2，再根据向量的数量积即可证明.

（Ⅰ）由题可知，，又解得.故椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）解法1：设，直线交轴于点，直线交轴于点.则，即.易知同向，故.

因为，，所以得直线的方程为，令，则；直线的方程为，令，则,

所以 ，为定值.

解法2：的左、右顶点分别为、，则有

由（Ⅰ）知，设直线、的斜率分别为，则.

直线的方程为，令得；直线的方程为

令得.所以.

解法3：的左、右顶点分别为、，则

如题图所示，

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