Question

10．已知函数f（x）=2x-alnx（a∈R）
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，f（1）处的切线方程；
（2）记g（x）=x²-f（x）．若函数g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），且不等式g（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求当a=1时，函数的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；
（2）函数f（x）在（0，+∞）上有两个极值点，可得0＜a＜$\frac{1}{2}$，不等式g（x₁）≥mx₂恒成立即为$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$≥m，求得$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁，令h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），求出导数，判断单调性，即可得到h（x）的范围，即可求得m的范围．

解答 解：（1）因为当a=1时，f（x）=2x-lnx，
所以f′（x）=2-$\frac{1}{x}$．
因为f（1）=2，f'（1）=1，
所以切线方程为y-2=x-1，即为y=x+1．
（2）可知，函数g（x）=x²-2x+alnx的导数为g′（x）=2x-2+$\frac{a}{x}$，
函数g（x）有两个极值点x₁，x₂，即方程2x²-2x+a=0有两个不等的正根，
则a＞0，判别式△=4-8a＞0，解得0＜a＜$\frac{1}{2}$．
因为g′（x）=0⇒2x²-2x+a=0，
所以x₁+x₂=1，x₁=$\frac{1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{1+\sqrt{1-2a}}{2}$．
因为0＜a＜$\frac{1}{2}$，所以0＜x₁＜$\frac{1}{2}$＜x₂＜1，
因为$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+aln{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+（2{x}_{1}-2{{x}_{1}}^{2}）ln{x}_{1}}{{x}_{2}}$
=$\frac{{{x}_{1}}^{2}-2{x}_{1}+（2{x}_{1}-2{{x}_{1}}^{2}）ln{x}_{1}}{1-{x}_{1}}$，
所以$\frac{g（{x}_{1}）}{{x}_{2}}$=1-x₁+$\frac{1}{{x}_{1}-1}$+2x₁lnx₁．
设h（x）=1-x+$\frac{1}{x-1}$+2xlnx（0＜x＜$\frac{1}{2}$），则h′（x）=1-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$+2lnx．
因为0＜x＜$\frac{1}{2}$，-1＜x-1＜-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$＜（x-1）²＜1，-4＜-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$＜-1，
且2lnx＜0，h'（x）＜0⇒h（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上单调递减，
则h（x）＞-$\frac{3}{2}$-ln2，所以m≤-$\frac{3}{2}$-ln2．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，同时考查函数的单调性的运用，以及不等式恒成立问题转化为求函数的最值或范围，属于中档题．