Question

19．设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x）．若在（a，b）上，f″（x）＞0恒成立，则称函数y=f（x）在（a，b）上为“凹函数”．若f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函数”，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值即可．

解答 解：∵f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2，
∴函数的导数f′（x）=-$\frac{1}{2}$x²+2x-ae^x，
f′′（x）=-x+2-ae^x，
∵f（x）=-$\frac{1}{6}$x³+x²-ae^x+2是R上的“凹函数”，
∴f″（x）＞0恒成立，
即f″（x）=-x+2-ae^x＞0恒成立，
即ae^x＜2-x，
即a＜$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
设h（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$，
则h′（x）=$\frac{-{e}^{x}-（2-x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{x-3}{{e}^{x}}$，
由h′（x）＞0得x＞3，此时函数单调递增，由h′（x）＜0，得x＜3，此时函数递减，
故当x=3时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（3）=$\frac{2-3}{{e}^{3}}$=-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
则h（x）=$\frac{2-x}{{e}^{x}}$≥-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
故a＜-$\frac{1}{{e}^{3}}$，
即a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{{e}^{3}}$）．

点评 本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，构造函数，利用导数研究函数的极值和最值是解决本题的关键．