Question

5．求函数y=x+$\sqrt{x（2-x）}$的值域．

Answer 1

分析 可以将原函数变成2x²-2（y+1）x+y²=0，可把该式看成关于x的方程，方程在[0，2]上有解．可求出f（0）≥0，f（2）≥0，从而可得道y满足△≥0，这样解不等式并根据y≥0即可得出原函数的值域．

解答 解：原函数的定义域为[0，2]；
由原函数得y-x=$\sqrt{x（2-x）}$，两边平方，并整理得：
2x²-2（y+1）x+y²=0，可将该式看成关于x的一元二次方程，方程在[0，2]上有解；
f（x）=2x²-2（y+1）x+y²，f（0）=y²≥0；
∵f（2）=8-4（y+1）+y²=（y-2）²≥0；
∴y需满足△=4（y+1）²-8y²≥0；
解得$1-\sqrt{2}≤y≤1+\sqrt{2}$；
又y≥0；
∴0≤y$≤1+\sqrt{2}$；
∴原函数的值域为[0，1$+\sqrt{2}$]．

点评 考查函数值域的概念，求带根号的函数处理方法：平方去根号，注意求出原函数的定义域，在定义域内求原函数的值域，要熟悉二次函数的图象．