Question

6．若y=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0）在[2，+∞）上是增函数，则a的取值范围是（0，2]．

Answer 1

分析 问题转化为a²≤x²在[2，+∞）上恒成立，求出y=x²在[2，+∞）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：若y=x+$\frac{{a}^{2}}{x}$（a＞0）在[2，+∞）上是增函数，
则1-$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$≥0在[2，+∞）上恒成立，
∴a²≤x²在[2，+∞）上恒成立，
∴0＜a≤2，
故答案为：（0，2]．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道基础题．