Question

已知数列、满足：.

(1)求；

(2) 证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；

(3)设，求实数为何值时恒成立。

 

Answer 1

【答案】

（1) ；

（2）；

(3)≤1时，恒成立 。

【解析】

试题分析：（1) ∵     ∴. 4分

（2）∵

∴，

∴

∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列           6分

∴  

  ∴      8分

(3)  

∴

∴          10分

由条件可知恒成立即可满足条件

设

当时，恒成立,

当时，由二次函数的性质知不可能成立

当时，对称轴         12分

在为单调递减函数．

∴    ∴时恒成立           13分

综上知：≤1时，恒成立                14分

考点：数列的递推公式，等差数列的通项公式，裂项相消法，数列不等式的证明。

点评：难题，本题综合性较强，综合考查数列的递推公式，等差数列的通项公式，裂项相消法，数列不等式的证明。确定等差数列的通项公式，往往利用已知条件，建立相关元素的方程组，以达到解题目的。本题从递推公式出发，研究“倒数数列”的特征，达到解题目的。涉及数列和的不等式证明问题，往往先求和、再放缩、得证明。本题通过构造函数、研究函数的最值，达到证明目的。