Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0）的离心率e=

2 3

3

，直线l过A（a，0）、B（0，-b）两点，原点O到l的距离是

3

2

．
（1）求双曲线的方程；
（2）求该双曲线的渐近线方程、顶点坐标和焦点坐标．

Answer 1

分析：（1）先求直线l的方程，利用原点O到l的距离是

3

2

，建立方程，结合双曲线的离心率，即可求双曲线的方程；
（2）根据方程，可得双曲线的渐近线方程、顶点坐标和焦点坐标．

解答：解：（1）∵直线l过A（a，0）、B（0，-b）两点，
∴直线l的方程为

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0
∵原点O到l的距离是

3

2

，∴

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

又e=

c

a

=

2 3

3

，∴b=1，a=

3

．…（5分）
故所求双曲线的方程为

x2

3

-y2=1．…（6分）
（2）渐近线方程为y=±

3

3

x，…（8分）
顶点坐标为(

3

，0)，(-

3

，0)…（10分）
又C=2，所以焦点坐标为（2，0），（-2，0）…（12分）

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，确定双曲线的标准方程是关键．