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    某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东方向，位于城市O北偏东方向15km的P处有一个美丽的小岛．旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O．为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积．

    【答案】分析：本题利用解析法求解．先以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系．得到直线OB的方程及点P的坐标为，进而得到三角形区域的面积表达式最后利用基本不等式求得面积S△OCD的最小值即可．
    解答：解：以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系．直线OB的倾斜角为，
    从而直线OB的方程为y=3x．（2分）
    由已知∠POC=α，|OP|=15，，得点P的坐标为（9，12）．（4分）
    设点C的坐标为（t，0），则直线PC的方程为：，（5分）
    联立y=3x，得，∴，∴t＞5．（（7分））
    ∴（9分）
    ==120．（11分）
    上式当且仅当，即t=10时取等号．
    而当t=9时，
    ∴当t=10时，S△OCD取最小值120．（14分）
    答：当C地处于城市O正东方向10km处时，能使三角形区域面积最小，其最小面积为120（km）2．（16分）
    点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、直线的方程、基本不等式，考查解析法，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
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    精英家教网某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东θ(tanθ=
    1
    3
    )    方向，位于城市O北偏东
    π
    2
    -α(cosα=
    3
    5
    )    方向15km的P处有一个美丽的小岛．旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O．为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东数学公式方向，位于城市O北偏东数学公式方向15km的P处有一个美丽的小岛．旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O．为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积．

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    题目

    某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东方向，位于城市O北偏东方向15km的P处有一个美丽的小岛. 旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O. 为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积.

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