Question

某海滨城市坐落在一个三角形海域的顶点O处（如图），一条海岸线AO在城市O的正东方向，另一条海岸线OB在城市O北偏东θ(tanθ=

1

3

)方向，位于城市O北偏东

π

2

-α(cosα=

3

5

)方向15km的P处有一个美丽的小岛．旅游公司拟开发如下一条旅游观光线路：从城市O出发沿海岸线OA到达C处，再从海面直线航行，途经小岛P到达海岸线OB的D处，然后返回城市O．为了节省开发成本，要求这条旅游观光线路所围成的三角形区域面积最小，问C处应选址何处？并求这个三角形区域的最小面积．

Answer 1

分析：本题利用解析法求解．先以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系．得到直线OB的方程及点P的坐标为，进而得到三角形区域的面积表达式最后利用基本不等式求得面积S_△OCD的最小值即可．

解答：解：以O为原点，直线OA为x轴建立平面直角坐标系．直线OB的倾斜角为

π

2

-θ，
从而直线OB的方程为y=3x．（2分）
由已知∠POC=α，|OP|=15，cosα=

3

5

，得点P的坐标为（9，12）．（4分）
设点C的坐标为（t，0），则直线PC的方程为：y=

12

9-t

(x-t)(t≠9)，（5分）
联立y=3x，得y=

12

9-t

(

y

3

-t)，∴yD=

12t

t-5

，∴t＞5．（（7分））
∴S△OCD=

1

2

|OC|•yD=

1

2

t•

12t

t-5

=

6t2

t-5

（9分）
=

6[(t-5)+5]2

t-5

=6[(t-5)+

25

t-5

+10]≥6•[2

(t-5)• 25 t-5

+10]=120．（11分）
上式当且仅当t-5=

25

t-5

＞0，即t=10时取等号．
而当t=9时，S△OCD=

1

2

×9×27=

243

2

＞120
∴当t=10时，S_△OCD取最小值120．（14分）
答：当C地处于城市O正东方向10km处时，能使三角形区域面积最小，其最小面积为120（km）²．（16分）

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、直线的方程、基本不等式，考查解析法，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．