Question

7．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x
（1）当a＞0时，讨论函数g（x）的单调性；
（2）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，其中x₁＜x₂，证明$\frac{1}{{x}_{2}}＜k＜\frac{1}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）先求函数导数，再讨论参数范围确定导数符号即可．
（2）由条件得到不等关系，再进行整体换元转化为一元不等式的证明问题

解答 解：（1）g（x）=lnx+ax²-（2a+1）x，
g′（x）=$\frac{1}{x}$+2ax-（2a+1）=$\frac{2a（x-\frac{1}{2a}）（x-1）}{x}$，（x＞0），
∴①当$\frac{1}{2a}$＜1，即a＞$\frac{1}{2}$时，令g'（x）＞0得，0＜x＜$\frac{1}{2a}$或x＞1；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}$＜x＜1．
所以，增区间为（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）；减区间为（$\frac{1}{2a}$，1）；
②当$\frac{1}{2a}$＞1，即0＜a＜$\frac{1}{2}$时，令g'（x）＞0得，0＜x＜1或x＞$\frac{1}{2a}$；
令g'（x）＜0得，$\frac{1}{2a}$＜x＜1．
所以，增区间为（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞）；减区间为（$\frac{1}{2a}$，1）；
③当$\frac{1}{2a}$=1，即a=$\frac{1}{2}$时，g′（x）=$\frac{{（x-1）}^{2}}{x}$＞0，增区间为（0，+∞）．
综上，当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，增区间为（0，1），（$\frac{1}{2a}$，+∞）；减区间为（1，$\frac{1}{2a}$）；
当a=$\frac{1}{2}$时，增区间为（0，+∞）；
当a＞$\frac{1}{2}$时，增区间为（0，$\frac{1}{2a}$），（1，+∞）；减区间为（$\frac{1}{2a}$，1）．
（2）证明：依题，k=$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$，要证$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$，
只要证 $\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{l{nx}_{2}-l{nx}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$＜$\frac{1}{{x}_{1}}$，
因为 x₂-x₁＞0，故只要证$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{2}}$＜ln $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{x}_{1}}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t（t＞1），则只需证  1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），
令h（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1（t＞1），则h′（t）=$\frac{1}{t}$-$\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）＞h（1）=0，即lnt＞1-$\frac{1}{t}$（t＞1），
同理可证：lnt＜t-1，
综上，1-$\frac{1}{t}$＜lnt＜t-1（t＞1），即$\frac{1}{{x}_{2}}$＜k＜$\frac{1}{{x}_{1}}$．

点评 本题考查了导数的几何意义和导数在函数中的运用．考查了逻辑思维和运算能力以及转化的思想方法．属于难题．