Question

2．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且$\overrightarrow{MG}$=3$\overrightarrow{GN}$，现用基向量$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{OG}$，并设$\overrightarrow{OG}$=x•$\overrightarrow{OA}$+y•$\overrightarrow{OB}$+z•$\overrightarrow{OC}$，则x、y、z的和为$\frac{7}{8}$．

Answer 1

分析 利用向量的三角形法则及平行四边形法则和向量形式的中点公式即可得出．

解答 解：∵空间四边形OABC对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，
点G在线段MN上，且$\overrightarrow{MG}$=3$\overrightarrow{GN}$，
∴$\overrightarrow{OG}$=$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{OM}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{MN}$
=$\overrightarrow{OM}+\frac{3}{4}（\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}）$
=$\frac{1}{4}\overrightarrow{OM}+\frac{3}{4}\overrightarrow{ON}$
=$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{2}（\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}）$
=$\frac{1}{8}\overrightarrow{OA}+\frac{3}{8}\overrightarrow{OB}+\frac{3}{8}\overrightarrow{OC}$，
∵$\overrightarrow{OG}$=x•$\overrightarrow{OA}$+y•$\overrightarrow{OB}$+z•$\overrightarrow{OC}$，
∴x+y+z=$\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}$=$\frac{7}{8}$．
故答案为：$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查三个数的和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．