Question

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点$（2，\sqrt{6}）$，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．
（1）求椭圆C的方程．
（2）求证：AP⊥OM．
（3）试问：$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据离心率和点在椭圆上，列方程解得即可，
（2）设直线BM的斜率为k，直线BM的方程为：y=k（x-4），设P（x₁，y₁），与椭圆方程联立可得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-16=0，解得x₁，x₂．可得P坐标，由y=k（x-4），解得M（-4，-4k），只要证明AP•OM=0，即可得出．
（3）利用数量积运算即可得出是否为定值．

解答 解：（1）∵椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且经过点$（2，\sqrt{6}）$，
∴e²=1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{6}{{b}^{2}}$=1，
解得a²=16，b²=8
∴$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{8}=1$，
（2）由（1）知，A（-4，0），B（4，0），直线BM斜率显然存在，
设BM方程为y=k（x-4），则M（-4，-8k），设P（x₁，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{8}=1}\end{array}\right.$，得（2k²+1）x²-16k²x+32k²-16=0，△＞0，
解得x₁=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，x₂=4，
y₁=$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$，
∴P（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{AP}$=（$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$），$\overrightarrow{OM}$=（-4，-8k），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{16{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$×（-4）+$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$×（-8k）=0，
∴AP⊥OM．
（3）∵$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$），
∴$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OM}$=$\frac{8{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$×（-4）+$\frac{-8k}{1+2{k}^{2}}$×（-8k）=$\frac{16（1+2{k}^{2}）}{1+2{k}^{2}}$=16

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点坐标、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．