Question

11．如图，ABCD是正方形，O是该正方体的中心，P是平面ABCD外一点，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDE；
（2）求证：BD⊥平面PAC．

Answer 1

分析 （1）要证PA与平面EBD平行，而过PA的平面PAC与平面EBD的交线为EO，因此只要证PA∥EO即可，这可由中位线定理得证；
（2）要证BD垂直于平面PAC，就是要证BD与平面PAC内两条相交直线垂直，正方形中对角线BD与AC是垂直的，因此只要再证BD⊥PO，这由线面垂直的性质或定义可得．

解答 证明：（1）连接EO，∵四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，
∵E是PC的中点，∴OE是△APC的中位线．
∴EO∥PA，∵EO?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）∵PO⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PO⊥BD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PO∩AC=O，AC?平面PAC，PO?平面PAC，
∴BD⊥平面PAC．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．