【题目】若无穷数列满足:只要
,必有
,则称
具有性质
.
(1)若具有性质
,且
,
,求
;
(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列
是公比为正数的等比数列,
,
,
判断
是否具有性质
,并说明理由;
(3)设是无穷数列,已知
.求证:“对任意
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
【答案】(1).(2)
不具有性质
.(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据已知条件,得到,结合
求解即可.
(2)根据的公差为
,
的公比为
,写出通项公式,从而可得
.
通过计算,
,
,
,即知
不具有性质
.
(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明.
试题解析:(1)因为,所以
,
,
.
于是,又因为
,解得
.
(2)的公差为
,
的公比为
,
所以,
.
.
,但
,
,
,
所以不具有性质
.
[证](3)充分性:
当为常数列时,
.
对任意给定的,只要
,则由
,必有
.
充分性得证.
必要性:
用反证法证明.假设不是常数列,则存在
,
使得,而
.
下面证明存在满足的
,使得
,但
.
设,取
,使得
,则
,
,故存在
使得
.
取,因为
(
),所以
,
依此类推,得.
但,即
.
所以不具有性质
,矛盾.
必要性得证.
综上,“对任意,
都具有性质
”的充要条件为“
是常数列”.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在测试中,客观题难度的计算公式为,其中
为第
题的难度,
为答对该题的人数,
为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试.共5道客观题.测试前根据对学生的了解,预估了每道题的难度,如表所示:
测试后,随机抽取了 20名学生的答题数据进行统计,结果如下
(1)根据题中数据,估计这240名学生中第5题的实测答对人数;
(2)从抽取的20名学生中再随机抽取2名学生,记这2名学生中第5题答对的人数为,求
的分布列和数学期望;
(3)定义统计量,其中
为第
题的实测难度,
为第
题的预估难度
.规定:若
,则称该次测试的难度预估合理,否则为不合理.试据此判断本次测试的难度预估是否合理.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两名同学准备参加考试,在正式考试之前进行了十次模拟测试,测试成绩如下:
甲:137,121,131,120,129,119,132,123,125,133
乙:110,130,147,127,146,114,126,110,144,146
(1)画出甲、乙两人成绩的茎叶图,求出甲同学成绩的平均数和方差,并根据茎叶图,写出甲、乙两位同学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论;
(2)规定成绩超过127为“良好”,现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个,求选出成绩“良好”的个数的分布列和数学期望.
(注:方差,其中
为
的平均数)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数(其中
)在点
处的切线斜率为1.
(1)用表示
;
(2)设,若
对定义域内的
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)在(2)的前提下,如果,证明:
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解学生的身体状况,某校随机抽取了一批学生测量体重,经统计,这批学生的体重数据(单位:千克)全部介于至
之间,将数据分成以下
组,第一组
,第二组
,第三组
,第四组,第五组
,得到如图所示的频率分布直方图,现采用分层抽样的方法,从第
、
、
组中随机抽取
名学生做初检.
(Ⅰ)求每组抽取的学生人数.
(Ⅱ)若从名学生中再次随机抽取
名学生进行复检,求这
名学生不在同一组的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌,分别是红桃,梅花
,方片
以及黑桃
,让明、小红、小张、小李四个人进行猜测:
小明说:第1个盒子里面放的是梅花,第3个盒子里面放的是方片
;
小红说:第2个盒子里面饭的是梅花,第3个盒子里放的是黑桃
;
小张说:第4个盒子里面放的是黑桃,第2个盒子里面放的是方片
;
小李说:第4个盒子里面放的是红桃,第3个盒子里面放的是方片
;
老师说:“小明、小红、小张、小李,你们都只说对了一半.”则可以推测,第4个盒子里装的是( )
A. 红桃或黑桃
B. 红桃
或梅花
C. 黑桃或方片
D. 黑桃
或梅花
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于90分的具有复赛资格,某校有800名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间内,其频率分布直方图如图.
(Ⅰ)求获得复赛资格的人数;
(Ⅱ)从初赛得分在区间的参赛者中,利用分层抽样的方法随机抽取
人参加学校座谈交流,那么从得分在区间
与
各抽取多少人?
(Ⅲ)从(Ⅱ)抽取的人中,选出
人参加全市座谈交流,设
表示得分在区间
中参加全市座谈交流的人数,求
的分布列及数学期望E(X).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在R上的奇函数满足
,且在[0,1)上单调递减,若方程
在[0,1)上有实数根,则方程
在区间[-1,7]上所有实根之和是
A. 12 B. 14 C. 6 D. 7
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为15.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从全省报考飞行员的同学中(人数很多)任选三人,设表示体重超过65公斤的学生人数,求
的分布列及数学期望.
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