Question

如图，已知斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，BC=2，AC=2

3

，AB=2

2

，AA1=A1C=

6

．
（Ⅰ） 设AC的中点为D，证明A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ） 求异面直线A₁C与AB成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用平面A₁ACC₁⊥平面ABC，可证A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）过B作AC的垂线BE，垂足为E，以D为原点，A₁D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，通过计算求出向量

A1C

，

AB

的坐标，利用向量的夹角公式即可求得．

解答：（Ⅰ）证明：∵AC=2

3

，AA₁=A₁C=

6

，∴AC²=AA₁²+A₁C²，
∴△AA₁C是等腰直角三角形，
又D是斜边AC的中点，∴A₁D⊥AC，
∵平面A₁ACC₁⊥平面ABC，∴A₁D⊥底面ABC；
（Ⅱ）∵BC=2，AC=2

3

，AB=2

2

，AC²=AB²+BC²，
∴三角形ABC是直角三角形，过B作AC的垂线BE，垂足为E，
则BE=

AB•BC

AC

=

2•2 2

2 3

=

2 6

3

，EC=

BC2-BE2

=

4- 8 3

=

2 3

3

，
∴DE=CD-EC=

3

-

2 3

3

=

3

3

，
以D为原点，A₁D所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，平行于BE的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（0，-

3

，0），A₁（0，0，

3

），B（

2 6

3

，

3

3

，0），C（0，

3

，0），

A1C

=（0，

3

，-

3

），

AB

=（

2 6

3

，

4 3

3

，0），
所以cos＜

A1C

，

AB

＞=

A1C • AB

| A1C || AB |

=

6

3

，
故所求余弦值为

6

3

．

点评：本题考查空间中直线与平面所成的角、异面直线所成的角，考查空间向量在立体几何中的应用，考查学生的计算能力．