Question

10．求下列函数的单调区间：
（1）y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{5}$x-$\frac{π}{3}$）；
（2）y=4sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{3}{4}$x）；
（3）y=$\frac{1}{2}$cos（3x+$\frac{π}{4}$）；
（4）y=3tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3}$π）．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的单调性，求得各个函数的单调区间．

解答 解：（1）对于y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{2π}{5}$x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{2π}{5}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得5k-$\frac{5}{12}$≤x≤5k+$\frac{25}{12}$，k∈Z，故函数的增区间为[5k-$\frac{5}{12}$，5k+$\frac{25}{12}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{2π}{5}$x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得5k+$\frac{25}{12}$≤x≤5k+$\frac{55}{12}$，k∈Z，故函数的减区间为[5k+$\frac{25}{12}$，5k+$\frac{55}{12}$]，k∈Z．
（2）对于y=4sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{3}{4}$x）=-4sin（$\frac{3}{4}$x-$\frac{π}{3}$），令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3x}{4}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
求得$\frac{8}{3}$kπ-$\frac{2π}{9}$≤x≤$\frac{8}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$，k∈Z，故函数的减区间为[$\frac{8}{3}$kπ-$\frac{2π}{9}$，$\frac{8}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$]，k∈Z；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤$\frac{3x}{4}$-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得$\frac{8}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$≤x≤$\frac{8}{3}$kπ+$\frac{22π}{9}$，k∈Z，故函数的增区间为[$\frac{8}{3}$kπ+$\frac{5π}{9}$，$\frac{8}{3}$kπ+$\frac{22π}{9}$]，k∈Z．
（3）对于y=$\frac{1}{2}$cos（3x+$\frac{π}{4}$），令2kπ-π≤3x+$\frac{π}{4}$≤2kπ，
求得 $\frac{2}{3}$kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$k-$\frac{π}{12}$，k∈Z，故函数的增区间为[$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{5π}{12}$，$\frac{2}{3}$k-$\frac{π}{12}$]，k∈Z；
令2kπ≤3x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+π，求得$\frac{2}{3}$kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z，故函数的减区间为[$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{12}$，$\frac{2}{3}$kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
（4）对于y=3tan（$\frac{1}{2}$x-$\frac{2}{3}$π），令kπ-$\frac{π}{2}$＜$\frac{1}{2}$x-$\frac{2π}{3}$＜kπ+$\frac{π}{2}$，
求得2k+$\frac{π}{3}$＜x＜2k+$\frac{7π}{3}$，k∈Z，故函数的增区间为（2k+$\frac{π}{3}$，2k+$\frac{7π}{3}$），k∈Z．

点评 本题主要考查三角函数的单调性，属于基础题．