Question

15．已知函数f（x）=tan（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若f（$\frac{α}{2}$）=3，求tan2α的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件根据f（x）=tan（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，求得ω的值，可得函数的解析式，从而求出它的定义域．
（Ⅱ）由条件求得tanα=$\frac{1}{2}$，再利用二倍角的正切公式求得tan2α的值．

解答 解：（Ⅰ）因为函数f（x）=tan（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的最小正周期为$\frac{π}{2}$，所以，$\frac{π}{ω}$=$\frac{π}{2}$，解得ω=2．
令 2x+$\frac{π}{4}$≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，x≠$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，
所以f（x）的定义域为{x|x≠$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，k∈Z}．
（Ⅱ）因为f（$\frac{α}{2}$）=3，即 tan（α+$\frac{π}{4}$）=3=$\frac{tanα+1}{1-tanα}$，∴tanα=$\frac{1}{2}$，∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查正切函数的图象和性质，二倍角的正切公式，属于基础题．