Question

5．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{n}$=（2，2-tanx），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（1）求$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{sinx+3cosx}$的值；
（2）设△ABC的三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA=tan（x+$\frac{π}{4}$），△ABC的面积为4$\sqrt{2}$，csinB=4sinC，求a．

Answer 1

分析 （1）令$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}=0$解出tanx，将$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{sinx+3cosx}$分子展开然后弦化切即可计算出结果；
（2）求出cosA，sinA，根据面积公式得到bc，利用正弦定理化简csinB=4sinC即可得到b，利用余弦定理计算a．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{n}$，
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=0，即2sinx+2cosx-cosxtanx=0，
∴sinx+2cosx=0，∴tanx=-2．
∴$\frac{\sqrt{2}sin（x-\frac{π}{4}）}{sinx+3cosx}$=$\frac{sinx-cosx}{sinx+3cosx}$=$\frac{tanx-1}{tanx+3}$=-3．
（2）cosA=$\frac{tanx+tan\frac{π}{4}}{1-tanxtan\frac{π}{4}}$=-$\frac{1}{3}$．∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA$=4$\sqrt{2}$，∴bc=12．
∵csinB=4sinC，∴$\frac{sinB}{sinC}=\frac{4}{c}$，又由正弦定理得$\frac{sinB}{sinC}=\frac{b}{c}$，
∴b=4，c=3．
∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{16+9+8}$=$\sqrt{33}$．

点评 本题考查了平面向量的数量级运算，三角函数的恒等变换，正余弦定理解三角形，属于中档题．