Question

16．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA+acosB=2ccosC，c=$\sqrt{3}$；
（1）若A=$\frac{π}{4}$，求边b的长；
（2）求△ABC面积的最大值．
（3）求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得sinC=2sinCcosC，结合范围C∈（0，π），可求C，B的值，利用正弦定理即可求得B的值；
（2）利用余弦定理及基本不等式的应用可得3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时取等号），利用三角形面积公式即可得解；
（3）求出a+b=2sin（A+$\frac{π}{6}$），根据三角函数的性质结合A的范围，求出a+b的范围，从而求出三角形周长的范围即可．

解答 解：（1）由题意可得sinBcosA+sinAcosB=2sinCcosC，
∴sin（A+B）=2sinCcosC，即sinC=2sinCcosC，
又sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
又C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{3}$，
∴B=π-A-C=$\frac{5π}{12}$，
又c=$\sqrt{3}$，在△ABC中，∵$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$，
∴b=$\frac{csinB}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}sin\frac{5π}{12}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$；
（2）在△ABC中，∵c²=a²+b²-2abcosC，且c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴3=a²+b²-ab≥2ab-ab=ab（当且仅当a=b时取等号），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（当且仅当a=b时取等号），
即当△ABC为正三角形时，△ABC面积的最大值为：$\frac{3\sqrt{3}}{4}$；
（3）∵c=$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，∴A+B=$\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2，
∴a=2sinA，b=2sinB，
a+b=2sinA+2sinB=2sinA+2sin（$\frac{2π}{3}$-A）=2$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{6}$），
∵0＜A＜$\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{6}$＜A+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\sqrt{3}$＜a+b≤2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{3}$＜a+b+c≤3$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式的综合应用，属于基本知识的考查．