Question

11．已知下列数列{a_n}的前n项和S_n，求数列{a_n}的通项公式．
（1）S_n=3ⁿ-2；
（2）S_n=n²a_n（n≥2），a₁=1．

Answer 1

分析 （1）首先求出n=1时a₁的值，然后求出n≥2时a_n的数列表达式，最后验证a₁是否满足所求递推式，于是即可求出{a_n}的通项公式；
（2）利用a_n+1=S_n+1-S_n，整理出a_n的递推式，进而用叠乘法求得a_n．

解答 解：（1）由S_n=3ⁿ-2，得a₁=S₁=3-2=1，
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={3}^{n}-2-（{3}^{n-1}-2）$=2•3^n-1，
已知n=1时上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$；
（2）由S_n=n²a_n（n≥2），
得${S}_{n+1}=（n+1）^{2}{a}_{n+1}$，
两式作差得：a_n+1=S_n+1-S_n=（n+1）²a_n+1-n²a_n，
∴n²a_n=n（n+2）a_n+1，即na_n=（n+2）a_n+1，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$（n≥2），即$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$（n≥3），
又由S_n=n²a_n（n≥2），a₁=1，得a₁+a₂=4a₂，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n-1}{n+1}•\frac{n-2}{n}…\frac{1}{3}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
又∵a₁=1，∴a_n=$\frac{n-1}{n+1}•\frac{n-2}{n}…\frac{1}{3}•1$=$\frac{2}{n（n+1）}$．
即a_n=$\frac{2}{n（n+1）}$．

点评 本题主要考查数列递推式的知识点，解答本题的关键是利用a_n=S_n-S_n-1进行解答，考查了用叠乘法求得数列{a_n}的通项公式，属于中档题．