Question

已知变数x，y满足约束条件

x-3y+4≥0 x+2y-1≥0 3x+y-8≤0

，目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．

解答： 解：作出不等式对应的平面区域，
当a=0时，z=x，即x=z，此时不成立．
由z=x+ay得y=-

1

a

x+

z

a

，
要使目标函数z=x+ay（a≥0）仅在点（2，2）处取得最大值，
则阴影部分区域在直线y=-

1

a

x+

z

a

的下方，
即目标函数的斜率k=-

1

a

，满足k＞k_AC，
即-

1

a

＞-3，
∵a＞0，
∴a＞

1

3

，
即a的取值范围为(

1

3

，+∞)，
故答案为：(

1

3

，+∞)．

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=x+y仅在点P（2，2）处取得最大值，确定直线的位置是解决本题的关键．