Question

已知A、B是抛物线y=1-x²上在y轴两侧的点，求过点A、B的切线与x轴围成面积的最小值．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：本题先利用函数的对称性，猜测两切点的对称，再利用导数求出曲线的切线方程，根据切线方程求三角形的面积，再研究其最小值．

解答： 解：由于抛物线y=1-x²关于y轴对称，
不妨设点A（x₀，y₀）在抛物线上y轴的右侧，研究过A点的切线与x轴、y轴围成的三角形面积的最小值．
本题过点A的切线即以点A为切点．
∵y=1-x²，∴y'=-2x．
∴y0=1-x02，k=-2x₀．
∴切线方程为：y-1+x02=-2x0(x-x0)．
当x=0时，y=x02+1，
当y=0时，x=

x02+1

2x0

，
则该直线与x轴、y轴围成的三角形面积为：

1

2

×(x02+1)×

x02+1

2x0

，（x₀＞0）
记f(t)=

(t2+1)2

4t

，(t＞0)．
f ′(t)=

3t4+2t2-1

4t2

=

3(t2+1)(t+ 3 3 )(t- 3 3 )

4t2

，
当0＜t＜

3

3

时，f'（t）＜0，f（x）单调递减；
当t＞

3

3

时，f'（t）＜0，f（x）单调递增．
当t=

3

3

时，f'（t）=0，f（x）取极小值，f(

3

3

)=

4 3

9

．
∴过抛物线y=1-x²上在y轴两侧的点A、B的切线与x轴围成面积的最小值为

8 3

9

．

点评：本题考查的是导数知识，用导数求切线方程，利用切线方程得到函数，再利用导数研究函数的最值．本题有一定的思维量和运算量，属于中档题．