Question

已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x²+ax-lnx，g（x）=e^x（其中e是自然对数的底数）．
（1）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x₀，y₀），求x₀的值；
（2）令F(x)=

f(x)

g(x)

，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）斜率k等于函数在切点的导数，x₀是方程的解，且y=x²+lnx-1在（0，+∞）上是增函数，可证求；
（2）F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，设h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx 由h'（x）在（0，1]上是减函数，可得h'（x）≥h'（1）=2-a，通过研究2-a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求参数的取值范围．

解答： 解：（1）f′（x）=2x+a-

1

x

（x＞0）所以切线的斜率k=2x₀+a-

1

x0

=

x02+ax0-lnx0

x0

，
整理得x₀²+lnx₀-1=0 显然x₀=1是这个方程的解，
又∵为y=x²+lnx-1在（0．+∞）上是增函数，
∴方程x²+lnx-1=0有唯一实数解，故x₀=1，
（2）F（x）=

f(x)

g(x)

=

x2+ax-lnx

ex

，F′（x）=

-x2+(2-a)x+a- 1 x +lnx

ex

，
设h（x）=-x²+（2-a）x+a-

1

x

+lnx 则h′（x）=-2x+

1

x2

+

1

x

+2-a易知h′（x）在（0，+∞）上是减函数，从而h′（x）≥h′（1）=2-a，
（1）当2-a≥0时，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在（0.1）上是增函数
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0区间（0，1]上是单调递减函数，所以a≤2满足题意，
（2）当2-a＜0时，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x₀，则h（x）在（0，x₀）上单调递增，在（x₀，1）单调递减，
又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0，又∵h（e^-a）＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点m，
当x∈（0，m）时，h（x）＜0，当x∈（m，1）时，h（x）＞0，从而F（x）在（0，m）上单调递减，在（m，1）上单调递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾，
∴a＞2不合题意，综合（1）（2）得a≤2．

点评：考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．