Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、C的对边，m=（b，2a-c），n=（cosB，cosC）且m∥n．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设f（x）=cosωx+sin（ωx+

B

2

）（ω＞0），且f（x）的最小正周期为π，求f（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）根据m∥n，可得到bcosC=（2a-c）cosB，再利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．结合三角形内角和及三角函数诱导公式即可求出B的值．
（2）首先将函数f（x）化简为f（x）=

3

sin（ωx+

π

3

），最小正周期为π，则ω=2．从而得到f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），利用三角函数的性质即可求出最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵m∥n，
∴bcosC=（2a-c）cosB，
∴bcosC+ccosB=2acosB．
由正弦定理可得，
sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．
∴sin（B+C）=2sinAcosB．
又∵B+C=π-A，
∴sinA=2sinAcosB，
∴cosB=

1

2

．
∵B∈（0，π），
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）f（x）=cosωx+sin（ωx+

B

2

）
=cosωx+sin（ωx+

π

6

）
=

3

2

sinωx+

3

2

cosωx
=

3

sin（ωx+

π

3

）
又∵f（x）的最小正周期为π，
∴T=

2π

ω

=π．
∴ω=2．
∴f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）．
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]．
∴sin（2x+

π

3

）∈[-

3

2

，1]．
∴当2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

时，f（x）取得最大值

3

．
当2x+

π

3

=

4π

3

，即x=

π

2

时，f（x）取得最小值

3

2

．

点评：本题考查向量数量积，三角函数求值等知识的综合应用，属于中档题．