Question

如图四棱锥P-ABCD的底面是一等腰梯形，其中AD∥BC，其中AD=3BC=6，AB=DC=2

2

，又平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=5，点O是线段AD的中点，经过直线OB且与直线PA平行的平面OBM与直线PC相交于点M．
（1）确定实数t，使得

PM

=t

MC

；
（2）求平面PAD与平面OBM夹角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求直线与平面的夹角,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）连结AC，设AC∩OB=N，则平面PAC∩平面OBM=MN，由此推导出△ONA∽△BNC，从而能求出t的值．
（2）由已知条件推导出PO⊥平面ABCD，设线段BC的中点为E，以点O为原点，OA，OE，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAD与平面OBM夹角的余弦值．

解答： 解：（1）连结AC，设AC∩OB=N，则平面PAC∩平面OBM=MN，
∵PA∥平面OBM，∴MN∥PA，
∴t=

PM

MC

=

AN

NC

，
又∵BC∥AD，∴△ONA∽△BNC，
∴t=

PM

MC

=

AN

NC

=

AO

CB

=

3

2

．
（2）∵PA=PD，∴PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，
设线段BC的中点为E，由于ABCD是等腰梯形，∴OE⊥AD，
如图以点O为原点，OA，OE，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∵OP=

PA2-OA2

=4，OE=

AB2-(OA-EB)2

=2，
∴A（3，0，0），B（1，2，0），C（-1，2，0），D（-3，0，0），P（0，0，4），
平面PAD的法向量

m

=（0，1，0），设平面OBM的法向量

n

=（x，y，z），
由

n

•

OB

=0，

n

•

PA

=0，
∴

x+2y=0 3x-4z=0

，令x=1，得

n

=（1，-

1

2

，

3

4

），
∴cos＜

m

，

n

＞=

- 1 2

1× 1+ 1 4 + 9 16

=-

2

29

=-

2 29

29

，
∴平面PAD与平面OBM夹角的余弦值为

2 29

29

．

点评：本题考查满足条件的实数值的求法，考查平面与平面所成的角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．