Question

已知函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，且当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x）成立（其中f′（x）是f（x）的导函数）．若a=

3

f（

3

），b=f（1），c=（log₂

1

4

）f（log₂

1

4

），则a、b、c的大小关系是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据条件构造函数，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．

解答： 解：∵函数y=f（x）是定义在实数集R上的奇函数，
∴当x∈（-∞，0）时，xf′（x）＜f（-x）等价为xf′（x）+f（x）＜0，
构造函数g（x）=xf（x），
则g′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，
∴当x∈（-∞，0）时，函数g（x）单调递减，
且函数g（x）是偶函数，
∴当x∈（0，+∞）时，函数g（x）单调递增，
则a=

3

f（

3

）=g（

3

），b=f（1）=g（1），c=（log₂

1

4

）f（log₂

1

4

）=g（log₂

1

4

）=g（-2）=g（2）
∵1＜

3

＜2，
∴g（1）＜g（

3

）＜g（2），
即b＜a＜c，
故答案为：b＜a＜c

点评：本题主要考查函数值的大小比较，根据函数的奇偶性构造函数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．